Apakah kamu pernah merasa kerepotan menghitung jumlah deretan angka dalam rumus matematika? Jika iya, mungkin kamu perlu mempelajari notasi sigma untuk menyederhanakan angka-angka tersebut. Agar mudah memahaminya berikut ini penjelasannya.

Apa sih itu Notasi Sigma ?

apa itu notasi sigma

Materi dasar matematika ini disebut juga dengan notasi penjumlahan. Sangat penting untuk kamu ketahui untuk dapat mempelajari dasar matematika tingkat lanjut semisal kalkulus dan statistika. untuk mengenalnya lebih dalam berikut ulasannya.

Pengertian

Notasi Sigma secara sederhana didefinisikan sebagai penjumlahan. Rumus ini digunakan untuk menyingkat deretan penjumlahan angka agar tidak terlalu panjang. Materi ini masih berkaitan erat dengan deret aritmatika maupun geometri.

dalam ilmu pendidikan matematika materi ini digunakan sebagai penjumlahan untuk urutan bilangan. Dimana hasilnya merupakan jumlah dari penjumlahan tersebut. Tidak hanya bilangan, bentuk lainnya yang dapat dijumlahkan adalah vektor, fungsi, matriks, dan polinomial. 

Penjumlah tersebut dimulai dari urutan yang eksplisit dan dilambangkan sebagai suksesi penambahan. Adanya penambahan asosiatif dan komunitatif sehingga tidak membutuhkan tanda kurung dan jumlahnya tidak tergantung pada urutan puncak.

Penjumlahan ini dimulai dari urutan satu elemen yang menghasilkan elemen itu sendiri. Sebagai contoh jika penjumlahan dimulai dengan urutan elemen 0, maka konversinya adalah dalam 0. Sedangkan untuk pola sederhana penjumlahan deretan panjang digantikan oleh elips.

Contoh penjumlahan untuk 100 bilangan asli dapat dituliskan dengan 1  +  2  +  3  +  4  + …. + 100.  Untuk menyederhanakan rumus tersebut maka menggunakan rumus sigma dengan lambang Σ. Simbol ini merupakan huruf Yunani yang disebut dengan “sum” yang memiliki arti penjumlahan.

Rumus notasi penjumlahan ini ditulis dengan bentuk sebagai berikut :

Jumlah dari bilangan bulat n alami yang pertama dilambangkan dengan i-1n1 

Rumus Notasi Kapital Sigma

notasi sigma

Dengan konsep yang sama notasi kapital sigma menggunakan simbol seperti di atas untuk mewakili penjumlahan pada banyak istilah maupun deretan bilangan. Rumusnya ditulis dengan i-mnai = am+ am+i + + an – 1 + an.

Pada rumus di atas, i merupakan indeks penjumlahan. Sedangkan ai adalah variabel indeks untuk setiap istilah dari jumlah yang ditambahkan. Adapun m yaitu simbol untuk batas bawah dari penjumlahan dan n adalah batas atas penjumlahan. 

Sedangkan i=m adalah simbol penjumlahan yang menandakan indeks dimulai dengan m, dan i adalah pertambahan untuk setiap istilah dan berhenti dengan tanda i=n. Berikut ini adalah contoh untuk penjumlahan bilangan kuadrat.

i=24i2= 22 + 32 + 42 = 29 

Terkadang dalam penulisan informal definisi indeks dan batasan penjumlahan dihilangkan. Hal ini berlaku ketika jelas secara konteksnya. Misalnya pada rumus berikut ini : ai= i=mnai. Selain itu terdapat juga generalisasi dari notasi dimana kondisi sebarang disediakan. 

Berikut ini beberapa contoh yang paling sering ditemui :

  • 0<k≤100f(k) merupakan jumlah dari f(k) dimana seluruh bilangan bulat dengan k sebagai rentang yang ditentukan.
  • x∈Sfx adalah jumlah untuk f(x) yang berisikan seluruh anggota x dalam himpunan S
  • dln(d)adalah jumlah untuk (d)untuk bilangan positif d yang dibagi dengan n.

Perubahan Rumus Notasi Sigma

tahukah kamu? bahwa notasi penjumlahan memiliki bentuk yang beragam. Mulai dari perubahan secara indeksnya, maupun penulisan notasinya. Lebih jelas berikut ini pemaparannya.

1. Perubahan Indeks

Menariknya dari notasi penjumlahan adalah indeksnya dapat diubah sesuai kebutuhan. Sehingga dalam penulisan indeks tidak harus selalu menggunakan huruf i. Kamu bisa menggunakan huruf lainnya semisal a, l, atau k. 

Akan tetapi saat mengubahnya pastikan indeks dalam matematikanya juga dirubah dengan huruf yang sama. Sedangkan huruf yang digunakan untuk menyatakan batas atas notasi penjumlahan tidaklah sama dengan huruf pengganti pada indeks sigma. Contohnya adalah sebagai berikut :

i=1ni = a=1na 

Dari bentuk rumus di atas dapat kita ketahui indeks pada rumus sebelumnya menggunakan huruf i. Kemudian diganti menjadi huruf “a” dengan catatan kalimat matematika pada rumus tersebut menggunakan huruf yang sama sesuai indeksnya.

Meskipun telah berubah hurufnya kedua rumus sigma tersebut tetap memiliki nilai yang sama dan tidak berubah. Sehingga dalam rumus diatas menggunakan lambang “sama dengan” untuk menyatakan bahwa kedua rumus sigma tersebut adalah sama.

2. Perubahan Notasi

Notasi pada rumus sigma juga dapat diubah sama seperti indeks. Untuk mengubah notasi pada sigma terdapat dua cara yang bisa kamu lakukan. Pertama yaitu dipisahkan menjadi penjumlahan dua atau pada lebih notasi sigma dan kedua adalah dengan dipisahkan suku pertama maupun terakhirnya.

  • Dipisahkan Menjadi Penjumlahan 

Notasi pada Sigma dapat dipisah atau dipecah menjadi beberapa penjumlahan beberapa rumus sigma. Untuk mengetahuinya berikut ini contoh dari perubahan notasi yang pertama :

i=1nui = i=1kui=k+1nui

Dari permisalan di atas dapat kita dapat memecah rumus tersebut menjadi dua notasi. dari rumus sigma yang pertama batas atasnya adalah huruf n dengan indeksnya adalah 1. Kemudian pada rumus kedua menghasilkan indeks k+1, dengan nilai indeks harus berurutan jika ingin ditambahkan.

Sehingga ketika dipecah menjadi lebih dari dua penjumlahan maka nilai indeks dan notasinya ditambahkan secara berurutan. Pasalnya semua nilai pada rentang batas atas serta batas bawahnya harus dijumlahkan seluruhnya.

Penggunaan kalimat matematika pada rumus sigma pun harus sama seperti contoh permisalan di atas. dimana pada bagian formula dituliskan ui  sehingga dalam rumus pecahannya formulanya tetap sama tidak berubah.

Berikut ini contoh soal perubahan pada notasi dalam rumus sigm :

i=312i= i=38i+i=912i 

i=312i= 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 = 75 

i=38i= 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 = 33 

i=912i= 9 + 10 + 11 + 12 = 42 

Sehingga ketika dijumlahkan i=38i + i=912i hasilnya adalah 75.

Sehingga dalam mengubah indeks ini kamu harus memperhatikan batas atas dan batas bawahnya harus memiliki nilai yang berurutan. Selain itu kalimat pada pecahan rumus sigma harus sama dalam penggunaan lambangnya.

  • Pemisahan Suku Pertama dan Terakhir

Lain halnya dengan cara kedua, pengubahan bentuk rumus dilakukan dengan memisahkan suku pada rumus notasi sigma. Untuk mengetahuinya berikut ini contoh permisalan rumus yang digunakan.

i=1nui= i=1n-1u1Un 

Rumus di atas dapat kita coba pada permisalan soal berikut :

i=1n-13i+9= i=1n-13i + 9 + (3n + 9) 

Maka penyelesaiannya sebagai berikut :

i=3n-13i + 9= 3 + 9 + 6 + 9+9 + 9+…+3n-1+ 9+(3n + 9) 

Kemudian kita ambil suku terakhirnya yaitu (3n+9)  maka hasilnya akan menjadi :

3 + 9 + 6 + 9+9 + 9+ + 3n-1+ 9= i=3n-13i + 9 , setelah itu kita masukan kembali suku terakhirnya ke dalam bentuk penjumlahan.

i=3n-13i+9 +3n+9= i=3n3i+9

Sifat Notasi Sigma

Agar lebih mengenal sifat-sifat dari notasi penjumlahan, kamu bisa memperhatikan beberapa contoh soal di bawah ini.

  1. k=515003
  2. k=182k
  3. k=210(k2+ 2k)
  4. k=33(k3+6)
  5. k=412(k+3)
  6. k=1001 1006(3k+2)

Berikut ini penyelesaiannya :

Sifat pertama dari rumus sigma ini adalah k=mn c =  (n – m + 1)

k=515003= 3 + 3 + 3 + 3 + + 3 

k=51500 3 =(1500-5+1)

k=51500 3 = 1496.3

k=51500 3 = 4488  

Soal nomor dua dapat diselesaikan dengan menggunakan rumus sifat kedua yaitu k=mncak=c × k=1nak. Maka cara penyelesaiannya adalah sebagai berikut :

k=182k= 2 k=18k

k=18 2k=2  (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8)

k=18 2k =2  36

k=18 2k= 72

Untuk mengerjakan soal nomor tiga kamu bisa menyelesaikannya dengan menggunakan sifat ketiga dari rumus sigma. Berikut ini rumus persamaannya k=1n (ak+ bk) = k=mnbk.

k=210k2 +  2k=( k=210k2 + k=2102k)

k=210k2 +  2k= 22+ 32+ 42+ 52+ 2k=210k

k=210k2 +  2k= 4 + 9 + 16 + 25 + 3 ×(2  +  4  +  5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10)

k=210k2 +  2k= 53 + 3 (51)

k=210k2 +  2k= 206

Sedangkan pada soal nomor 4 kamu bisa menggunakan sifat rumus sigma k=nn ak = 0. Sehingga hasill dari k=33 (k3 + 6) =0

Pada soal kelima kamu bisa menggunakan sifat rumus sigma k=m nak= k=mp-1ak  + k=10nak. Maka penyelesaiannya adalah sebagai berikut.

k=412k  +  3=  k = 46k  +  3 + k = 710k  +  3 

Soal keenam bisa kamu selesaikan dengan menggunakan rumus k=mnak = k=m=pn-pak+p . Berikut ini penyelesaian dari soal tersebut.

k = 10011006(3k + 2)=  k=1001-10001006-1000[5k +1000 +2]

k = 10011006(3k + 2)=k=16(3k+ 3002)

Contoh Soal Notasi Sigma dan Jawabannya

Untuk lebih menguasai materi notasi sigma, tentunya kamu perlu berlatih dan mengetahui lebih banyak tentang rumus sigma. Berikut ini beberapa contoh soal yang bisa kamu cermati bersama rumus pemecahannya.

Soal ke-1

Jika nilai k=121k=x, berapakah nilai dari k=100310213k-1995?. Untuk menyelesaikannya kamu bisa menggunakan rumus sifat ketiga. 

k= 100310213k – 2999= k=1003-10001021-1000(3(k +1000)-2999)

k= 100310213k – 2999=  3213k+3000-2999

k= 100310213k – 2999=  3213k + 1 

Selanjutnya kamu bisa menerapkan sifat pertama dan kedua seperti berikut ini.

k = 100310213k – 2999=  k = 3213k  +3211   

k = 100310213k – 2999=  3 k = 321k+20-3+3 . 1

k = 100310213k – 2999=   3k + 20

Soal Ke-2

Nilai untuk i=150(2i +  i2)=X sedangkan m=150(2m +  m2)=Y. Bagaimana konsep hubungan antara M dengan N? Penyelesaiannya adalah sebagai berikut.

Berdasarkan sifat rumus sigma  :

k = mnak= j = mnaj  

Pada contoh soal ini kedua rumus memiliki batas bawah yang sama yaitu 1 dengan nilai n = 50. Meski memiliki variabel yang berbeda pada bagian fungsinya, namun keduanya memiliki bentuk yang sama. Sehingga dapat ditarik kesimpulan bahwa M sama dengan N.

Materi notasi sigma ini dapat dikembangan pada berbagai rumus lainnya. Sehingga sangat penting untuk kamu dalam mempelajari konsep dasarnya terlebih dahulu. Agar dapat mengaplikasikannya ketika berhadapan dengan rumus yang lebih rumit.

Untuk menguasai rumus notasi sigma lebih baik, kamu bisa berlatih secara konsisten. Dengan mengerjakan berbagai soal latihan dan memahami konsep dengan baik dalam menentukan rumus penyelesaiannya. 

Recommended Posts